Question

（2007•东城区一模）已知{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，Pn=a1+a2

C

1 n

+a3

C

2 n

+…+an+1

C

n n

（n∈N^*，n＞2），Qn=

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…+

C

m n

，（其中m=2[

n

2

]，[t]表示t的最大整数，如[2.5]=2）．如果数列{

Pn

Qn

}有极限，那么公比q的取值范围是（　　）

A．-1＜q≤1，且q≠0

B．-1＜q＜1，且q≠0

C．-3＜q≤1，且q≠0

D．-3＜q＜1，且q≠0

Answer 1

分析：分别求出P_n，Q_n，利用数列{

Pn

Qn

}有极限，即可求得公比q的取值范围．

解答：解：由题意，a_n=a₁•q^n-1，P_n=a₁+a₁qC_n¹+a₁q²C_n²++a₁qⁿC_nⁿ=a₁（1+qC_n¹+q²C_n²++qⁿC_nⁿ）
=a₁（1+q）ⁿ=（1+q）ⁿ（q≠0）；
当n为偶数时，m=n，Qn=

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…+

C

m n

=2^n-1；
当n为奇数时，m=2[

n

2

]=n-1，Qn=

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…+

C

m n

=2^n-1；
∴

Pn

Qn

=2•(

1+q

2

)n
由题意得-1＜

1+q

2

≤1，即-3＜q≤1
又q≠0 则-3＜q≤1，则q≠0，
故选C．

点评：本题考查二项式定理的运用，考查数列的极限，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．