Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范围是[-9，9]．

Answer 1

分析 以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，可求得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），令t=-4（x-2）+（y-1），则y=4x+t-7，利用线性规划即可求得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范围．

解答 解：以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，

则A（4，0）、B（0，2）、D（0，1）、E（2，1），
又P是△ABC（包括边界）内任一点，设P（x，y），
则$\overrightarrow{AD}$=（-4，1），$\overrightarrow{EP}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），
令t=-4（x-2）+（y-1），则y=4x+t-7，
由图知，当直线y=4x+t-7过B（0，2）时，在y轴的截矩最大，此时t=2+7=9；
当直线y=4x+t-7过A（4，0）时，在y轴的截矩最小，此时t=-16+7=-9；
所以，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范围是[-9，9]，
故答案为：[-9，9]．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，将$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），转化为：令t=-4（x-2）+（y-1），即y=4x+t-7，利用线性规划解决问题是关键，考查数形结合思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．