Question

已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，已知a₁＋a₄＝－，且对于任意的n∈N_＋有S_n，S_n＋2，S_n＋1成等差数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)已知b_n＝n(n∈N_＋)，记T_n＝，若(n－1)²≤m(T_n－n－1)对于n≥2恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

解析：(1)设等比数列{a_n}的公比为q，

∵ S₁，S₃，S₂成等差数列，

∴ 2S₃＝S₁＋S₂，

∴ 2a₁(1＋q＋q²)＝a₁(2＋q)，得q＝－，

又a₁＋a₄＝a₁(1＋q³)＝－，

∴ a₁＝－，∴ a_n＝a₁q^n－1＝

(2)∵ b_n＝n，a_n＝

∴＝n·2ⁿ，

∴ T_n＝1·2＋2·2²＋3·2³＋…＋n·2ⁿ，①

2T_n＝1·2²＋2·2³＋3·2⁴＋…＋(n－1)·2ⁿ＋n·2^n＋1，②

由①－②，得－T_n＝2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1，

∴ T_n＝－＝(n－1)·2^n＋1＋2.

若(n－1)²≤m(T_n－n－1)对于n≥2恒成立，

则(n－1)²≤m[(n－1)·2^n＋1＋2－n－1]，

(n－1)²≤m(n－1)·(2^n＋1－1)，

∴ m≥，

令f(n)＝，f(n＋1)－f(n)＝＜0，∴ f(n)为减函数，

∴ f(n)≤f(2)＝.

∴ m≥.即m的取值范围是.