Question

13．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=$\frac{a^2}{4}$的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$，则双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 设右焦点为F′，由$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

解答 解：设右焦点为F′，
∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$，
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴E是PF的中点，
∴PF′=2OE=a，
∴PF=3a，
∵OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∴（3a）²+a²=4c²，
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．