Question

过直线l：y=2x上一点P作圆M：(x-3)2+(y-4)2=

1

5

的两条切线l₁，l₂，A，B为切点，若直线l₁，l₂关于直线l对称，则∠APB=

60°

．

Answer 1

分析：连接PM、AM，根据圆的性质和轴对称知识，得当切线l₁，l₂关于直线l对称时，直线l⊥PM，且PM平分∠APB．因此计算出圆的半径和点M到直线l的距离，在Rt△PAM中利用三角函数定义算出∠APM的度数，从而得到∠APB的度数．

解答：解：连接PM、AM，可得当切线l₁，l₂关于直线l对称时，直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线
∵圆M的方程为（x-3）2+（y-4）2=

1

5

∴点M坐标为（3，4），半径r=

5

5

∴点M到直线l：2x-y=0的距离为PM=

2 5

5

由PA切圆M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM=

AM

PM

=

5 5

2 5 5

=

1

2

得∠APM=30°
∴∠APB=2∠APM=60°

故答案为：60°

点评：本题在直角坐标系中给出圆的两条切线关于已知直线对称，求它们之间所成的角，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系和轴对称等知识，具有一定的综合性