Question

过直线l：y=2x上一点P作圆C：x²+y²-16x-2y+63=o的切线l₁，l₂，若l₁，l₂关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为

3

5

．

Answer 1

分析：求出过圆心与y=2x垂直的直线，和直线y=2x联立求出P的坐标，然后由两点间的距离公式求答案．

解答：解：由圆C：x²+y²-16x-2y+63=0，得圆C：（x-8）²+（y-1）²=2，
过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x-8）²+（y-1）²=2的切线l₁、l₂，
由l₁、l₂关于直线l对称，可得过圆心且与y=2x垂直的直线，与y=2x的交点就是P的位置，
圆的圆心坐标为（8，1），与y=2x垂直的直线的斜率为-

1

2

，垂线方程为：y-1=-

1

2

（x-8），
即x+2y-10=0，
联立

y=2x x+2y-10=0

，解得P（2，4），
∴点P到圆心C的距离为

(8-2)2+(1-4)2

=3

5

．
故答案为：3

5

．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．