Question

过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x-8）²+（y-1）²=2的切线l₁，l₂，若l₁，l₂关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为

 

．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标，经过判定发现，圆心不在已知直线上，由对称性可知，只有直线y=2x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=2x，从这点做切线才能关于直线y=2x对称．由直线y=2x的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出该点与圆心连线方程的斜率，由圆心坐标和求出的斜率写出此直线的方程，与已知直线方程联立求出该点的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出此时这个点到圆心C的距离．

解答：解：显然圆心（8，1）不在直线y=2x上．
由对称性可知，只有直线y=2x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=2x，从这点做切线才能关于直线y=2x对称．
所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y-1=-

1

2

（x-8），即x+2y-10=0，
与y=2x联立可求出该点坐标为（2，4），
所以该点到圆心的距离为：

(8-2)2+(1-4)2

=3

5

．
故答案为：3

5

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及两点间的距离公式．由对称性得到该点与圆心连线所在的直线方程与直线l垂直是解本题的关键．