Question

过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x-8）²+（y-1）²=2的切线l₁、l₂，若l₁、l₂关于直线l对称，则点P到经过原点和圆心C的直线的距离为（　　）

• A．4
• B．

  65

  13

• C．

  6 65

  13

• D．

  48

  13

Answer 1

分析：利用过圆心与y=2x垂直的直线，求出P的坐标，然后求出圆心与原点的直线方程，利用点到直线的距离求解即可．

解答：解：因为过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x-8）²+（y-1）²=2的切线l₁、l₂，若l₁、l₂关于直线l对称，
所以过圆心与y=2x垂直的直线，与y=2x的交点，就是P的位置，
圆的圆心坐标为（8，1），与y=2x垂直的直线的斜率为-

1

2

，垂线方程为：y-1=-

1

2

(x-8)，
即x+2y-10=0，
所以

y=2x x+2y-10=0

，解得P（2，4），
圆心与原点的直线方程为：x-8y=0．
所以点P到经过原点和圆心C的直线的距离为：

|2-8×4|

12+(-8)2

=

6 65

13

．
故选C．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程以及直线的对称性的应用，点到直线的距离公式的应用，综合能力强的题目．