Question

设点P在曲线y=e^x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  （1-ln2）
• C、

  3

• D、

  3

  （1+ln3）

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：由反函数的性质可求点P到直线y=x的最近距离d，由导数法求切点可得d的值，进而可得答案．

解答： 解：∵y=e^x与y=lnx互为反函数，其图象关于直线y=x对称，
∴可先求点P到直线y=x的最近距离d，
设曲线y=e^x上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，
∴切点坐标为（0，1），即b=1
∴d=

1

12+(-1)2

=

2

2

，
∴丨PQ丨的最小值为2d=2×

2

2

=

2

故选：A．

点评：本题考查指数函数和对数函数的性质，涉及反函数和点到直线的距离公式，属基础题．