Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间；
（3）求方程f（x）=0的解集．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由图知，A=1，T=π，于是知ω=2；再由f（

7π

12

）=-1，可求得φ=2kπ+

π

3

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，于是可得φ及函数y=f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调性，由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）可求函数y=f（x）的单调增区间；
（3）f（x）=0⇒2x+

π

3

=kπ（k∈Z），从而可求得方程f（x）=0的解集．

解答： 解：（1）由图知，A=1，
∵周期T=4（

7π

12

-

π

3

）=π，
∴ω=

2π

π

=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
又f（

7π

12

）=-1，
∴sin（

7π

6

+φ）=-1，
∴

7π

6

+φ=2kπ+

3π

2

（k∈Z），
∴φ=2kπ+

π

3

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（2）-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z．
∴函数y=f（x）的单调增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]k∈Z．
（3）∵f（x）=0，
∴2x+

π

3

=kπ，k∈Z．
∴x=-

π

6

+

1

2

kπ，k∈Z．
∴方程f（x）=0的解集为{x|x=-

π

6

+

1

2

kπ，k∈Z}．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与零点，考查综合分析与运算能力，属于中档题．