Question

如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、EF、PF，其中PF=2

5

．
（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；
（Ⅱ）求直线AP与平面PEF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由翻折不变性知PB=BC=6，PE=CE=9，由勾股定理推导出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能够证明PF⊥平面ABED．
（Ⅱ）法一：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面PEF的法向量为和直线AP的方向向量，用向量法能求出直线AP与平面PEF所成角的正弦值．
法二：过点A作AH⊥EF于H，由题设条件推导出∠APH为直线AP与平面PEF所成的角，由此能求出直线AP与平面PEF所成角的正弦值．

解答： （本题满分14分）
解：（Ⅰ）由翻折不变性，知：PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF²+BF²=20+16=36=PB²，
∴PF⊥BF…（2分）
在图1中，由勾股定理得EF=

62+(12-3-4)2

=

61

，
在△PEF中，EF²+PF²=61+20=81=PE²，
∴PF⊥EF…（4分）
又∵BF∩EF=F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，
∴PF⊥平面ABED．…（6分）
（Ⅱ）方法一：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，
则A（6，0，0），P(6，8，2

5

)，E（0，3，0），F（6，8，0），
∴

AP

=(0，8，2

5

)，

FP

=(0，0，2

5

)，

EF

=(6，5，0)，…（8分）
设平面PEF的法向量为

n

=（x，y，z），
∵

n • FP =0 n • EF =0

，∴

2 5 •z=0 6x+5y=0

，解得

x=- 5 6 y z=0

令y=-6，得

n

=（5，-6，0），…（12分）
设直线AP与平面PEF所成角为θ，
则sinθ=

| AP • n |

| AP |•| n |

=

48

84 × 61

=

8 1281

427

．
所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为

8 1281

427

．…（14分）
方法二：过点A作AH⊥EF于H，
由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，而AH?平面ABED
∴PF⊥AH，又EF∩PF=F，EF?平面PEF，PF?平面PEF，
∴AH⊥平面PEF，
∴∠APH为直线AP与平面PEF所成的角．…（9分）
在Rt△APF中，AP=

AF2+PF2

=

64+20

=2

21

…（11分）
在△AEF中，由等面积公式得AH=

AF•AD

EF

=

48

61

…（13分）
在Rt△APH中，sin∠APH=

AH

AP

=

16

61

×

3

2 21

=

8 1281

427

所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为

8 1281

427

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，涉及到空间图形的翻折问题，难度较大，对数学思维能力的要求较高，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．