Question

9．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$
（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知P为曲线C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一点，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=3$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）P为曲线C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一点，可设P（4cosθ，3sinθ）．可得点P到直线l的距离d=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=3$\sqrt{2}$，可得直角坐标方程：x+y-6=0．
（2）P为曲线C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一点，可设P（4cosθ，3sinθ）．
∴点P到直线l的距离d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当sin（θ+φ）=1时取等号，
∴点P到直线l的距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程及其应用、点的直线的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．