Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

8

=1的右焦点为F，设点A（2，1），P为椭圆上的一个动点．若|PA|+3|FP|最小，则此时点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先作出图形来，过点P向椭圆右准线做垂线，垂足为B，根据椭圆方程求得离心率和准线方程，再根据椭圆的定义找到取得最值的状态求解．

解答： 解：∵椭圆

x2

9

+

y2

8

=1的a=3，b=2

2

，c=1，
e=

1

3

，
∴|PA|+3|FP|即为：|PA|+

1

e

|PF|
∴根据椭圆的第二定义：
过A作右准线的垂线x=9，交与B点，
则|PA|+

1

e

|PF|的最小值为|AB|
∵|AB|=8
∴|PA|+

1

e

|PF|的最小值为：8．此时，

x2

9

+

1

8

=1，解得x=±

3 14

4

，由题意，结合图形，可知x=

3 14

4

，
P的坐标（

3 14

4

，1）
故答案为：（

3 14

4

，1）．

点评：本题主要考查学生的作图能力和应用椭圆的定义来求最值的能力，主要考查了椭圆的应用，考查了学生对椭圆基本知识的理解和应用．