Question

【题目】已知函数.

（1）当时,讨论函数的单调性；

（2）当时,对于任意正实数，不等式恒成立，试判断实数的大小关系.

Answer 1

【答案】（1）增减；（2）

【解析】

（1）求出导数再讨论a即可判断单调性．（2）设g（x）＝f（x）﹣b，x＞0，求导数判断单调性求出极值，转化为g（x）max≤0即可．

（1）f′（x），x＞0，

令f′（x）＝0得，x＝e，

在（0．e）上，f′（x）＞0，即f（x）单调递增；

在（e，+∞）上，f′（x）＜0，即f（x）单调递减．

故f（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）上单调递减，

（2）当a＞0时，设g（x）＝f（x）﹣b，x＞0，

∴g′（x），

令g′（x）＝0，得x＝1，

当0＜x＜1时，g′（x）＞0，即g（x）单调递增，

当x＞1时，g′（x）＜0，即g（x）单调递减，

∴g（x）max＝g（1）＝a﹣b．

要使不等式恒成立，

只需g（x）max≤0，

即a﹣b≤0，

∴a≤b．

故实数a，b的大小关系为：a≤b．