题目内容
在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，求角C的大小．
考点：两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的求值
分析：对已知式平方，化简，求出sin（A+B）=
，确定A+B的值，利用三角形的内角和求出C的大小．
| 1 |
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解答：
解：△ABC中，把3sinA+4cosB=6和3cosA+4sinB=1分别平方，可得
（3sinA+4cosB）2=36，即 9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36 ①
（4sinB+3cosA）2=1，即 16sin2B+9cos2A+24sinBcosA=1 ②
①+②得：（9sin2A+9cos2A）+（16cos2B+16sin2B）+24sinAcosB+24sinBcosA=37
即 9+16+24sin（A+B）=37，∴sin（A+B）=sinC=
，∴C=
，或 C=
．
再由3cosA+4sinB=1，可得4sinB=1-3cosA＞0，∴cosA＜
＜
，∴A＞
，
故C=
不可能，故 C=
．
（3sinA+4cosB）2=36，即 9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36 ①
（4sinB+3cosA）2=1，即 16sin2B+9cos2A+24sinBcosA=1 ②
①+②得：（9sin2A+9cos2A）+（16cos2B+16sin2B）+24sinAcosB+24sinBcosA=37
即 9+16+24sin（A+B）=37，∴sin（A+B）=sinC=
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| 2 |
| π |
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| 5π |
| 6 |
再由3cosA+4sinB=1，可得4sinB=1-3cosA＞0，∴cosA＜
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| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
故C=
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，属于基础题．
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