Question

设函数
（Ⅰ）当时，求的最大值；
（Ⅱ）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

略

解: （Ⅰ）依题意，知的定义域为（0，+∞），
当时，，
（2′）令=0，
解得．（∵）
因为有唯一解，所以，当时，
，此时单调递增；
当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值        ………4分
（Ⅱ），，则有≤，在上恒成立，
所以≥，             
当时，取得最大值，所以≥…            ……8分
（Ⅲ）因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，
设，
则．令，.
因为，，所以（舍去），，
当时，，在（0，）上单调递减，
当时，，在（，+∞）单调递增
当时，=0，取最小值．
则既
所以，因为，所以（*）
设函数，因为当时，
是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，即，解得 12分