题目内容
【题目】已知椭圆C： 
（a＞b＞0）经过点（ 
，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为 
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：椭圆C： 
（a＞b＞0）经过点（ 
，1），
可得 
+ 
=1，又设左焦点为（﹣c，0），有 
= 
，
即c= ，a2﹣b2=2，解得a=2，b= ，
则椭圆方程为 
（2）
解：假设存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．
当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），
设直线MN的方程为x=my+1，
代入椭圆方程可得，（2+m2）y2+2my﹣3=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得y1+y2=﹣ 
，y1y2=﹣ 
，
由假设可得kBM+kBN=0，
即为 
+ 
=0，
即有x1y2+x2y1=t（x1+x2），
即m（y1+1）y2+（my2+1）y1=t[m（y1+y2）+2]，
即有2my1y2+（y1+y2）=t[m（y1+y2）+2]，
即为 
﹣ =t（﹣ 
+2），
化为﹣8m=4t，即t+2m=0，由于m为任意的，则t不为定值．
故不存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立
【解析】（1）将点（ ，1）代入椭圆方程，设左焦点为（﹣c，0），再由斜率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）假设存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），设直线MN的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由假设可得kBM+kBN=0，化简整理，可得t+2m=0，故不存在这样的定点B．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能正确解答此题．
