Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，它在点 处的切线为直线l．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）已知点P为椭圆 =1上一点，求点P到直线l的距离的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，

∴ρ2cos2θ=2ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为y= x2，

∴y′=x，又M（2 ， ）的直角坐标为（2，2），

∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为y﹣2=2（x﹣2），

即直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣2=0

（2）解：P为椭圆 =1上一点，设P（ cosα，2sinα），

则P到直线l的距离d= = ，

当sin（α﹣ ）=﹣ 时，d有最小值0．

当sin（α﹣ ）=1时，d有最大值 ．

∴P到直线l的距离的取值范围为：[0， ]

【解析】（1）利用极坐标方程与普通方程的互化求解即可．（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式化简求解即可．