正12边形A1A2-A12内接于半径为1的圆.从$\overrightarrow{{A} {1}{A} {2}}$.$\overrightarrow{{A} {2}{A} {3}}$.$\overrightarrow{{A} {3}{A} {4}}$.-.$\overrightarrow{{A} {12}{A} {1}}$这12个向量中任取两个.记它们的数量积为S.则S的最大值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．正12边形A₁A₂…A₁₂内接于半径为1的圆，从$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$、$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$、…、$\overrightarrow{{A}_{12}{A}_{1}}$这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$．

分析由题意画出图形，求出正12变形的边长，在由题意可得，从$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$、$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$、…、$\overrightarrow{{A}_{12}{A}_{1}}$这12个向量中任取两个，使它们的数量积最大，则两向量夹角最小，则两向量为相邻两向量，由此可得答案．

解答解：如图，

由多边形内角和定理可知，正12边形A₁A₂…A₁₂内角和为（12-10）×180°=1800°，
则每一个内角为$\frac{1800°}{12}=150°$，
∠A₁OA₂=30°，
在△A₁OA₂中，又OA₁=OA₂=1，
由余弦定理可得：$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}{|}^{2}={1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos30°=2-\sqrt{3}$，
由题意可知，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$、$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$、…、$\overrightarrow{{A}_{12}{A}_{1}}$的模相等，
从$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$、$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$、…、$\overrightarrow{{A}_{12}{A}_{1}}$这12个向量中任取两个，使它们的数量积最大，
则两向量夹角最小，则两向量为相邻两向量，
不妨取$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$，
则S=$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}=|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}{|}^{2}cos30°$=$（2-\sqrt{3}）×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}-\frac{3}{2}$．
故答案为：$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$．