Question

设数列{a_n}中，an=1+2+3+…+n(n∈N*)，将{an}中5的倍数的项依次记为b₁，b₂，b₃，…，
（I）求b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（II）用k表示b_2k-1与b_2k，并说明理由．
（III）求和：b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1+b_2n．

Answer 1

（I）∵a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

由题意可得，b₁=a₄=10，b₂=a₅=15，b₃=a₉=45，b₄=a₁₀=55；
（II）∵an=

n(n+1)

2

=5m(m∈N+)，
∴n=5k或n+1=5k（k∈N₊），
即n=5k-1或n=5k
∵b_2k-1＜b_2k，
∴b2k-1=a5k-1=

5k(5k-1)

2

，b_2k=a_5k=

5k(5k+1)

2

（III）由（II）可得，b_2n-1+b_2n=

5n(5n-1)+5n(5n+1)

2

=25n²
∴b₁+b₂+…+b_2n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）
=25×1²+25×2²+…+25n²
=25（1²+2²+…+n²）
∴b1+b2+…+b2n=

25

6

n(n+1)(2n+1)．