Question

13．在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2cos²$\frac{B+C}{2}$+sin2A=1．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=2$\sqrt{3}-2$，△ABC的面积为2，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用二倍角公式求得sinA=$\frac{1}{2}$，可得A的值．
（Ⅱ）由条件利用，△ABC的面积为2求得bc=8，再利用余弦定理求得b+c的值．

解答 解：（Ⅰ）在锐角△ABC中，由2cos²$\frac{B+C}{2}$+sin2A=1，可得 cos（B+C）+sin2A=0，
即sin2A=cosA，即 2sinAcosA=cosA，求得sinA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）设a=2$\sqrt{3}-2$，△ABC的面积为2，∴$\frac{1}{2}$bc•sinA=2，
∴bc=8．
再利用余弦定理可得a²=16-8$\sqrt{3}$=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-$\sqrt{3}$bc
=（b+c）²-16-8$\sqrt{3}$，
∴b+c=4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查二倍角公式，正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．