Question

已知f（x）=

1

2

x2+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求证：当x＞0时，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析：（1）设公共点为（x₀，y₀），由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），联立消去x₀即得a，b的关系；
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a²lnx-b（x＞0），只需用导数证明F（x）的最小值大于等于0即可；

解答：（1）解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），即

1 2 x02+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
由x₀+2a=

3a2

x0

，得x₀=a，或x₀=-3a（舍去），即有 b=

1

2

a2+2a²-3a²lna=

5

2

a2-3a2lna（a＞0），
令h（t）=

5

2

t2-3t²lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt），
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h′（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h′（t）＜0，
故h（t）在（0，e

1

3

）上为增函数，在（e

1

3

，+∞）上为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）上的最大值为h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

，
（Ⅱ）证明：设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a²lnx-b（x＞0），
则F′（x）=x+2a-

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)，
故F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数，
于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值为F（a）=F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0，
故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上最值及研究曲线的切线问题，属中档题，函数恒成立问题常转化为最值处理．