Question

已知f（x）=

1

2x+1

+log₂（x+

x2+1

），则f（5）+…+f（1）+f（0）+f（-1）+…+f（-5）=

5.5

．

Answer 1

分析：根据条件，得到规律性证明f（x）+f（-x）是个常数即可．

解答：解：因为f（x）=

1

2x+1

+log₂（x+

x2+1

），所以f（-x）=

1

2-x+1

+log₂（-x+

x2+1

）=

2x

1+2x

+log2

1

x2+1 +x

=

2x

1+2x

-log2(

x2+1

+x)，
所以f（x）+f（-x）=

1

2x+1

+log₂（x+

x2+1

）+

2x

1+2x

-log2(

x2+1

+x)=

1

1+2x

+

2x

1+2x

=

1+2x

1+2x

=1．
即f（x）+f（-x）=1．
所以f（5）+…+f（1）+f（0）+f（-1）+…+f（-5）=5[f（1）+f（-1）]+f（0）=5×1+

1

2

=5.5．
故答案为：5.5

点评：本题主要考查了对数函数和指数函数的运算性质，考查学生分析问题的能力，运算量较大，综合性较强．