Question

5．设圆C：x²+y²+4x-6y=0．
（1）若圆C关于直线l：a（x-2y）-（2-a）（2x+3y-4）=0对称，求实数a；
（2）求圆C关于点A（-2，1）对称的圆的方程；
（3）若圆C与圆C₁；x²+y²+Dx+2y+F=0关于直线x-2y+b=0对称，求D、F、b的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得圆心（-2，3）在直线l上，将（-2，3）代入直线l的方程，求得a的值．
（2）求出圆心C关于点A的对称点的坐标，可得圆C关于点A（-2，1）的对称圆方程．
（3）由题意（-2，3）与（-$\frac{D}{2}$，-1）关于直线x-2y+b=0对称，求出D，b，结合圆的半径，即可得出结论．

解答 解：（1）根据题意得，圆C：（x+2）²+（y-3）²=13关于直线l：a（x-2y）-（2-a）（2x+3y-4）=0对称，即圆心（-2，3）在直线l上，
将（-2，3）代入直线l的方程，得a（-2-2×3）-（2-a）[2×（-2）+3×3-4]=0，
解得a=-$\frac{2}{7}$；
（2）∵圆C：（x+2）²+（y-3）²=13的圆心（-2，3）关于点A（-2，1）的对称点为（-2，-1），
∴圆C：（x+2）²+（y-3）²=13关于点A（-2，1）的对称圆方程为（x+2）²+（y+1）²=13；
（3）由题意（-2，3）与（-$\frac{D}{2}$，-1）关于直线x-2y+b=0对称，
∴$\frac{3+1}{-2+\frac{D}{2}}$=-2，（-1-$\frac{D}{4}$）-2+b=0，
∴D=0，b=3，
∵圆的半径是$\sqrt{13}$，
∴圆C₁：x²+（y+1）²=13，
∴F=-12．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，关键是求出圆心关于直线的对称点的坐标，求一个点关于某个点的对称点的坐标，属于中档题．