题目内容

4．设$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，m）（m＞0），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx）且函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值为2．
（1）求m与函数f（x）的最小正周期；
（2）△ABC中，f（A-$\frac{π}{4}$）+f（B-$\frac{π}{4}$）=12$\sqrt{2}$sinAsinB，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=$\frac{π}{3}$，c=$\sqrt{6}$，求△ABC的面积．

分析 （1）根据函数$f（x）=\vec a•\vec b$的最大值为2，求m与函数f（x）的最小正周期；
（2）利用$f（{{A}-\frac{π}{4}}）+f（{{B}-\frac{π}{4}}）=12\sqrt{2}sin{A}sin{B}$，结合正弦定理，可得a+b=3ab．结合余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，变形得c2=（a+b）2-2ab-2abcosC即3a2b2-ab-2=0，求出ab，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{2}sinx+mcosx=\sqrt{{m^2}+2}sin（{x+φ}）$$（{tanφ=\frac{{\sqrt{2}m}}{2}}）$…（4分）
知${[{f（x）}]_{max}}=\sqrt{{m^2}+2}$，令$\sqrt{{m^2}+2}=2$，得$m=\sqrt{2}$.$T=\frac{2π}{1}=2π$…（6分）
（2）由（1）知$m=\sqrt{2}$时，$f（x）=2sin（{x+\frac{π}{4}}）$．
则$f（{{A}-\frac{π}{4}}）+f（{{B}-\frac{π}{4}}）=12\sqrt{2}sin{A}sin{B}$，得$sinA+sinB=6\sqrt{2}sinAsinB$…（7分）
结合正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2\sqrt{2}$得$sinA=\frac{a}{{2\sqrt{2}}}，sinB=\frac{b}{{2\sqrt{2}}}$，
即a+b=3ab．
结合余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
变形得c2=（a+b）2-2ab-2abcosC即3a2b2-ab-2=0．…（10分）
解得ab=1或ab=-$\frac{2}{3}$（舍去），
故 ${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查三角函数的化简，考查正弦、余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．

练习册系列答案
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（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
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