Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，则二面角B-DE-C的平面角为

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离

分析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B-DE-C的平面角cosθ的余弦值．

解答： 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP，
所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0）．
∴

PA

=(2，0，-2)，

DE

=（0，1，1），

DB

=（2，2，0），
设

n1

=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，
则由

n1 • DE =y+z=0 n1 • DB =2x+2y=0

，
∴

n1

=（1，-1，1）．
又

n2

=

DA

=（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．
设二面角B-DE-C的平面角为θ，
由题意可知cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

2

3 ×2

=

3

3

．
故答案为：arccos

3

3

．

点评：本题考查二面角的平面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．