Question

关于x的方程cos²x-sinx+a=0，若0＜x≤

π

2

时方程有解，则a的取值范围（　　）

• A、[-1，1]
• B、（-1，1]
• C、[-1，0]
• D、（-∞，-

  5

  4

  ）

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：cos²x-sinx+a=0⇒a=sinx-cos²x=(sinx+

1

2

)2-

5

4

；当0＜x≤

π

2

时，利用正弦函数的单调性可求得-1＜(sinx+

1

2

)2-

5

4

≤1，从而可得a的取值范围．

解答： 解：∵cos²x-sinx+a=0，
∴a=sinx-cos²x
=sinx-（1-sin²x）
=(sinx+

1

2

)2-

5

4

；
∵0＜x≤

π

2

，
∴0＜sinx≤1，
∴

1

2

＜sinx+

1

2

≤

3

2

，
∴

1

4

＜(sinx+

1

2

)2≤

9

4

，
∴-1＜(sinx+

1

2

)2-

5

4

≤1，即-1＜a≤1．
∴a的取值范围为（-1，1]．
故选：B．

点评：本题考查三角函数的最值，考查分离变量法的应用，突出考查正弦函数的单调性与配方法，属于中档题．