Question

已知函数f(x)=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，g（x）=|x-k|+|x-1|，若对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：求出函数f(x)=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

的最大值为

1

4

，g（x）=|x-k|+|x-1|的最小值为|1-k|，可得

1

4

≤|1-k|，即可求出实数k的取值范围．

解答： 解：由题意函数f(x)=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

的最大值为

1

4

，g（x）=|x-k|+|x-1|的最小值为|1-k|，
∵对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，
∴

1

4

≤|1-k|，
∴k≤

3

4

或k≥

5

4

．
故答案为：k≤

3

4

或k≥

5

4

．

点评：本题考查分段函数的应用，考查函数的最值，确定函数的最值是关键．