题目内容
12．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．
（Ⅰ）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；
（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
分析 （1）利用频率分布直方图的性质即可得出．
（2）（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式即可得出．
解答 解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为$\frac{8}{0.2}=40$．
所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.$P（ξ=0）=\frac{C_3^0C_4^4}{C_7^4}=\frac{1}{35}$，$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^3C_4^1}{C_7^4}=\frac{4}{35}$．
所以随机变量ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{35}$ | $\frac{12}{35}$ | $\frac{18}{35}$ | $\frac{4}{35}$ |
点评 本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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