Question

1．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos²θ=2sinθ．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，求|PM|的值．

Answer 1

分析 （1）消去参数t得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C的直角坐标方程；
（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．

解答 解：（1）因为直线的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t得直线l的普通方程为x-y+3=0…（2分）
由曲线C的极坐标方程ρcos²θ=2sinθ，
得ρ²cos²θ=2ρsinθ，…（3分）
所以曲线C的直角坐标方程为x²=2y．…（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，消去y得x²-2x-6=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB的中点$M（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$．
因为 x₁+x₂=2，∴M（1，4）…（8分）
又点P的直角坐标为（1，1），…（9分）
所以$|{PM}|=\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（4-1）}^2}}=3$…（10分）

点评 本题考查了直角坐标方程化为参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．