Question

7．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点P（1，1）的直线l₁被圆C截得的弦长等于2$\sqrt{3}$，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆心C（a，0），（a＞-$\frac{5}{2}$），由题意结合点到直线的距离公式列式求得a值，则圆的方程可求；
（Ⅱ）由垂径定理可得圆心C到直线l₁ 的距离，然后分直线l₁ 的斜率存在与不存在分类求解得答案．

解答 解：（Ⅰ）设圆心C（a，0），（a＞-$\frac{5}{2}$），则$\frac{|4a+10|}{5}=2$，解得a=0或a=-5（舍），
∴圆C：x²+y²=4；
（Ⅱ）由题意可知圆心C到直线l₁ 的距离为$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，
若直线l₁ 斜率不存在，则直线l₁：x=1，圆心C到直线l₁的距离为1；
若直线l₁斜率存在，设直线l₁：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，
则$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=0，直线l₁：y=1．
综上直线l₁ 的方程为x=1或y=1．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了垂径定理的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．