Question

16．已知函数f（x）=（x-a）lnax，g（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1（a∈R，a＞1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=a处的切线l斜率为2，求l的方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈（$\frac{1}{a}$，a）时，f（x）＞g（x）恒成立．若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可得到结论．
（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数最值之间的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为$f'（x）=ln（ax）-\frac{a}{x}+1$，f′（a）=2，…（2分）
所以lna²=2，解得a=e或a=-e（舍去）．…（3分）
因为f（x）=（x-e）lnex，
所以f（e）=0，切点为（e，0），
所以l的方程为y=2x-2e．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得，$（x-a）lnax＞{x^2}-（a+\frac{1}{a}）x+1$，
$（x-a）lnax＞（x-a）（x-\frac{1}{a}）$，
又$x∈（\frac{1}{a}，a）$，所以$lnax＜x-\frac{1}{a}$，$lnax-x+\frac{1}{a}＜0$．…（2分）
令$h（x）=lnax-x+\frac{1}{a}$（$x∈（\frac{1}{a}，a）$），则$h'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
所以，当$\frac{1}{a}＜x＜1$时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当1＜x＜a时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=lna+$\frac{1}{a}$-1．…（9分）
故只需lna+$\frac{1}{a}$-1＜0（*）．
令φ（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞1），则φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
所以当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，所以φ（x）＞φ（1）=0．…（11分）
故不等式（*）无解．
综上述，不存在实数a，使得当x∈（$\frac{1}{a}$-，a）时，f（x）＞g（x）恒成立．…（12分）

点评 本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及不等式恒成立进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，综合性较强，有一定的难度．