Question

6．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，图中阴影部分（梯形剪去一个扇形）绕AB旋转一周形成一个旋转体．
（1）求该旋转体的表面积；
（2）求该旋转体的体积．

Answer 1

分析 （1）旋转体为圆台挖去一个半球后的几何体，圆台的上下底面半径为AD，BC，高为AB，半球的半径为AD．于是几何体的表面积为圆台侧面积与底面积半球面积的和；
（2）体积为圆台体积与半球体积的差．

解答 解：（1）旋转后的几何体是一个圆台从上面挖去一个半球，圆台的上下底面半径分别为2，5高为4，半球半径为2．
圆台的母线长为CD=$\sqrt{（5-2）^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴${S_{半球}}=\frac{1}{2}×4π×{2^2}=8π$，S_圆台侧=π×（2+5）×5=35π，${S_{圆台底}}=π×{5^2}=25π$，
∴旋转体的表面积为S_表=8π+35π+25π=68π．
（2）V_圆台=$\frac{1}{3}$（4π+25π+10π）•4=52π，${V_{半球}}=\frac{4π}{3}×{2^3}×\frac{1}{2}=\frac{16π}{3}$，
∴旋转体的体积为$V=52π-\frac{16π}{3}=\frac{140π}{3}$．

点评 本题考查了旋转体的结构特征，面积与体积计算，属于中档题．