Question

7．已知圆锥的全面积为12π，它的侧面展开图是一个圆心为120°的扇形，求圆锥的体积．

Answer 1

分析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，由圆锥的表面积公式和弧长公式列出方程组，求出r、l后由勾股定理求出高h，利用椎体的体积公式求出圆锥的体积．

解答 解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，高为h，
∵圆锥的全面积为12π，它的侧面展开图是一个圆心为120°的扇形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{π{r}^{2}+πrl=12π}\\{\frac{2π}{3}•l=2πr}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{r=\sqrt{3}}\\{l=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴圆锥的体积V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π×3×2\sqrt{6}$=$2\sqrt{6}π$．

点评 本题考查圆锥的表面积公式、体积公式，以及弧长公式，考查方程思想，属于基础题．