Question

【题目】已知椭圆：的长轴长为4，离心率为．直线交于点，倾斜角互补，且直线与椭圆的交点分别为（点在点的右侧）.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）证明：直线的斜率为定值；

（Ⅲ）在椭圆上是否存在一点，恰好使得四边形为平行四边形，若存在，分别指出此时点和的坐标；若不存在，简述理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）存在，

【解析】

（Ⅰ）根据长轴长和离心率即可容易求得，则椭圆方程可得；

（Ⅱ）由点在椭圆上，结合的斜率互为相反数，结合韦达定理，即可容易求得两点的坐标，即可求证斜率为定值；

（Ⅲ）根据题意，即可容易求得对应点的坐标.

（Ⅰ）根据题意得解得

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）易知点在椭圆上.

设直线 ，即．

令

消去得．

设，则．

所以．

因为直线和的倾斜角互补，所以直线．

设，同理可得．

所以

．

即直线的斜率为定值．

（Ⅲ）存在符合已知条件，

且使得四边形为平行四边形．