Question

【题目】设函数（为常数，是自然对数的底数）。

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在内存在唯一极值点，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为（2）

【解析】

（1）根据解析式可求得函数定义域为，求导后，根据可知；从而根据的符号可确定导函数的符号，从而得到函数的单调区间；（2）由（1）知时不满足题意；当时，将问题转化为与在范围内有唯一交点；设，利用导数可得到的单调性，从而得到在内的图象，进而得到的取值范围.

（1）由题意得：函数的定义域为

则

当时，

当时，，函数单调递减

当时，，函数单调递增

的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）由（1）知，当时，在内单调递减

在内不存在极值点

当时，要使得在内存在唯一极值点，则在存在唯一变号零点

即方程在内存在唯一解，即与在范围内有唯一交点

设函数，则

在单调递减

又；当时，

时，与在范围内有唯一交点

综上所述：的取值范围为：