Question

4．已知函数f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-blnx（a，b∈R），g（x）=x²．
（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；
（2）在（1）的条件下，求证：g（x）＞f（x）-2ln2．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，由已知得到f（x）在x=1处的导数为0，即可求b的值；
（2）设F（x）=g（x）-f（x）+2ln2=x²-（x-$\frac{1}{x}$）+2lnx+2ln2，求导数，确定函数的单调性，即可证明结论．

解答 解：（1）当a=1时，由已知得到f（x）在x=1处的导数为0．
而f'（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{b}{x}$，所以f'（1）=2-b=0，从而b=2．
（2）设F（x）=g（x）-f（x）+2ln2=x²-（x-$\frac{1}{x}$）+2lnx+2ln2
F'（x）=2x-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}}$
设w（x）=2x³-x²+2x-1，（x＞0）w'（x）=6x²-2x+2=2（3x²-x+1）恒＞0，即有w（x）在x＞0上是增函数．又因为w（x）=（2x-1）（x²+1），
可知w（$\frac{1}{2}$）=0，
则当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，w（x）＜0；当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，w（x）＞0
所以当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，F（x）单调减；当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，F（x）单调增．
所以F（x）≥F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$＞0，
∴g（x）＞f（x）-2ln2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．