Question

12．已知椭圆x²+2y²=4，则以（1，1）为中点的弦的长度为$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

Answer 1

分析 设弦的两端的端点为（a，b）和（2-a，2-b），列方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2{b}^{2}=4}\\{（2-a）^{2}+2（2-b）^{2}=4}\end{array}\right.$得两端点的坐标，由此可知弦长．

解答 解：设弦的两端的端点为（a，b）和（2-a，2-b）
列方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2{b}^{2}=4}\\{（2-a）^{2}+2（2-b）^{2}=4}\end{array}\right.$
解得a=1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1-$\frac{\sqrt{6}}{6}$或a=1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1+$\frac{\sqrt{6}}{6}$
两端点的坐标为（1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{6}}{6}$）和（1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）
弦长为$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（-\frac{2\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

点评 本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．