题目内容

已知将函数y=cos2
x
2
-sin2
x
2
+2
3
sin
x
2
cos
x
2
的图象上所有点向左平移
π
6
个单位，再把所得的图象上所有点得横坐标变为原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．
（I）求函数f（x）的表达式及f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的单调递减区间及f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
分析：（I）由三角函数的运算公式可得：y=2sin（x+
π
6
），由图象变换的知识可得f（x）=2sin（2x+
π
3
），进而可得周期；
（II）由整体法可得函数的单调区间，进而可得函数在区间[0，
π
2
]的最值．
解答：解：（I）由三角函数的运算公式可得：y=cos2
x
2
-sin2
x
2
+2
3
sin
x
2
cos
x
2

=cosx+
3
sinx=2（
1
2
cosx+
3
2
sinx）=2sin（x+
π
6
），
由图象变换的知识可得将上述函数图象向左平移
π
6
个单位，横坐标变为原来的
1
2
倍（纵坐标不变），
所得函数为：f（x）=2sin（2x+
π
3
），故其周期为：T=
2π
2
=π；
（II）由2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，得f（x）=2sin（2x+
π
3
）的递减区间为：
[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]（k∈Z），又∵x∈[0，
π
2
]，∴2x+
π
3
∈[
π
3
，
4π
3
]，
∴sin（2x+
π
3
）∈[-
3
2
，1]，
所以当x=
π
2
时，f（x）取得最小值-
3
，当x=
π
12
时，f（x）取得最大值2
点评：本题考查三角函数的运算和图象变换，涉及区间最值的求解，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sin（ωx+?），2），
b
=（1，cos（ωx+?））(ω＞0，0＜?＜
π
4
)，函数f（x）=（
a
+
b
）•（
a
-
b
）的图象过点M(1，
7
2
)，且该函数相邻两条对称轴间的距离为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象按向量
a
=(-
2
3
，-3)平移后，得到函数y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）在区间[1，2]上的单调性．
下列命题中，真命题的个数为（　　）
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sin B；
（2）已知
AB
=(3，4)，
CD
=(-2，-1)，则
AB
在
CD
上的投影为-2；
（3）已知p：?x∈R，cosx=1，q：?R，x2-x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题
（4）要得到函数y=cos(
x
2
-
π
4
)的图象，只需将y=sin
x
2
的图象向左平移
π
4
个单位．
已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
3
cosωx）且0＜ω＜2，函数f（x）=m•n，且f（
π
3
）=
3
2
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=g（x）的图象向右平移
π
3
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
4
，得到函数y=f（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．
给出下列结论．
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②将函数y=cos(
3π
2
+x)的图象上每个点的横坐标缩短为原来的
1
2
（纵坐标不变），再向左平行移动
π
4
个单位长度变为函数y=sin(2x+
π
4
)的图象；
③已知ξ～N（16，σ2），若P（ξ＞17）=0.35，则P（15＜ξ＜16）=0.15；
④已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是(2
2
，+∞)；
其中真命题的序号是
①③
①③
（把所有真命题的序号都填上）．
已知函数f(x)=cos2x+cos(2x-
π
2
)，其中x∈R，下面是关于f（x）的判断：
①函数f（x）最小正周期为π
②函数f（x）的一个对称中心是（-
π
8
，0）
③将函数y=
2
sin2x的图象左移
π
4
得到函数f（x）的图象
④f（x）的一条对称轴是x=
5π
8

其中正确的判断是
 
（把你认为正确的判断都填上）．

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