Question

下列命题中，真命题的个数为（　　）
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sin B；
（2）已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，则

AB

在

CD

上的投影为-2；
（3）已知p：?x∈R，cosx=1，q：?R，x²-x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题
（4）要得到函数y=cos(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

4

个单位．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：对于（1）可先证充分性，由，“A＞B”推导“sinA＞sinB”，分A是锐角与A不是锐角两类证明即可；再证必要性，由于在（0，π）上正弦函数不是单调函数，可分两类证明，当A是钝角时，与A不是钝角时，易证，再由充分条件必要条件的定义得出正确选项即可；
对于（2）先求得向量的坐标，再求得其数量积和模，然后用投影公式求解．判断即可．
对于（3）分别判断两个命题的正误，进而根据复合命题真假判断的真值表，可判断其正误
对于（4）求出将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

4

个单位后函数的解析式，比照后可得到结论

解答：解：（1）由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π-A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，此时有sin（π-A）=sinA＞sinB
综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件；
当sinA＞sinB时，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，
综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件
综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，
本选项正确；
（2）已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，|

AB

|=5，|

CD

|=

5

，

AB

cosα=

AB • CD

| CD |

=

-10

5

≠-2，则

AB

在

CD

上的投影为-2，不正确．
（3）p：?x=0∈R，cosx=1，正确；q：?x∈R，x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，正确，所以￢q不正确，则“p∧￢q”为假命题，正确．
（4）函数y=sin

x

2

的图象向左平移

π

4

个单位得到函数y=sin

x+ π 4

2

=sin(

x

2

+

π

8

)的图象，而y=sin(

x

2

+

π

8

)和y=cos(

x

2

-

π

4

)不是同一个函数
故选B．

点评：本题考查命题的正误，向量的数量积的应用，三角函数的对称轴的应用，考查基本知识的灵活运用．