Question

已知向量

a

=（sin（ωx+?），2），

b

=（1，cos（ωx+?））(ω＞0，0＜?＜

π

4

)，函数f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）的图象过点M(1，

7

2

)，且该函数相邻两条对称轴间的距离为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象按向量

a

=(-

2

3

，-3)平移后，得到函数y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）在区间[1，2]上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过函数f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）利用向量的数量积，结合三角函数的二倍角公式化简函数的表达式，利用周期求出ω，图象通过点，求出?，得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象按向量

a

=(-

2

3

，-3)平移后，得到函数y=g（x）的图象，得到函数的解析式，根据[1，2]求出函数的单调性．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

²-

b

²=|

a

|²-|

b

|²=sin²（ωx+?）+4-cos²（ωx+?）-1=3-cos（2ωx+2?）．
∴f（x）的最小正周期为

2π

2ω

=2×2，即ω=

π

4

．
又f（x）的图象过点M（1， 

7

2

），
∴

7

2

=3-cos(

π

2

+2?)，即sin2?=

1

2

．
而0＜?＜

π

4

，∴2?=

π

6

，则?=

π

12

．
∴f（x）=3-cos(

π

2

x+

π

6

)..…（6分）
（Ⅱ）依题意，g(x)=3-cos[

π

2

(x+

2

3

)+

π

6

]-3=sin

π

2

x．
∵x∈[1，2]，∴

π

2

x∈[

π

2

，π]．
∴函数y=g（x）在[1，2]上单调递减．…（12分）

点评：本题是中档题，通过向量的数量积，三角函数的公式的应用，函数图象的特点求出函数的解析式是解题的关键，注意角的范围，考查计算能力．