Question

设A、B、C是△ABC的三个内角，角C是锐角，若关于x的方程 x²-（2sinC）x+sinAsinB=0有两个相等实根，且4sin²C+4cosC-5=0 求证：△ABC正三角形．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：根据题意得到根的判别式等于0，列出关系式，利用正弦定理化简得到c²=ab，已知等式变形求出cosC的值，确定出C的度数，利用余弦定理列出关系式，把c²=ab代入得到a=b，即可确定出三角形形状．

解答： 证明：∵关于x的方程x²-（2sinC）x+sinAsinB=0有两个相等实根，
∴△=4sin²C-4sinAsinB=0，即sin²C=sinAsinB，
利用正弦定理化简得：c²=ab，
由4sin²C+4cosC-5=4-4cos²C+4cosC-5=0，即4cos²C-4cosC+1=0，
整理得：（2cosC-1）²=0，即cosC=

1

2

，
∵C为锐角，
∴C=60°，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=ab，即（a-b）²=0，
可得a=b，
则△ABC为正三角形．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．