若存在实数x0和正实数△x.使得函数f(x)满足f(x0+△x)=f(x0)+4k△x.．则称函数f(x)为“k倍函数．则下列四个函数 ①${f {\;}}(x)=\sqrt{x}$ ②${f {\;}}(x)={x^2}-2xx∈[0.3]$ ③f(x)=4sinx④${f {\;}}(x)={e^x}-lnx$其中为“k倍函数的有①④(填出所有正确结论的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．若存在实数x₀和正实数△x，使得函数f（x）满足f（x₀+△x）=f（x₀）+4k△x，（常数k≥1）．则称函数f（x）为“k倍函数”．则下列四个函数
①${f_{\;}}（x）=\sqrt{x}$
②${f_{\;}}（x）={x^2}-2xx∈[0，3]$
③f（x）=4sinx
④${f_{\;}}（x）={e^x}-lnx$
其中为“k倍函数”的有①④（填出所有正确结论的番号）．

分析 ①利用新定义，通过选取实数x₀和正实数△x，判断函数是否满足新定义即可．②判断新定义不满足的情况，推出结果；③④利用表达式的几何意义，通过函数的导数求解即可．

解答解：对于①${f_{\;}}（x）=\sqrt{x}$，令实数x₀=0，正实数△x=$\frac{1}{16{k}^{2}}$，
可得：f（x₀+△x）=$\sqrt{△x}$=$\frac{1}{4k}$，
f（x₀）+4k△x=4k×$\frac{1}{16{k}^{2}}$=$\frac{1}{4k}$，
函数f（x）满足f（x₀+△x）=f（x₀）+4k△x，（常数k≥1）．
函数f（x）为“k倍函数”．
对于②${f_{\;}}（x）={x^2}-2xx∈[0，3]$
f（x₀+△x）=（x₀+△x）²-2（x₀+△x）=x₀²+2x₀△x+△x²-2x₀-2△x，
f（x₀）+4k△x=x₀²-2x₀+4k△x，
若满足f（x₀+△x）=f（x₀）+4k△x，
必有2x₀△x+△x²-2△x=4k△x，
即：2x₀+△x-2=4k，∵x∈[0，3]，x₀+△x∈[0，3]，x₀+△x-2∈[-2，1]，x₀＜3，
∴2x₀+△x-2＜4．
∴②函数f（x）不是“k倍函数”．
对于：③f（x）=4sinx，若函数f（x）满足f（x₀+△x）=f（x₀）+4k△x，
由题意可知函数若满足题意，
必有4k=$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，即曲线上两点连线的斜率必须存在≥4的斜率．
f′（x）=4cosx，
∵f′（△x）=4cos△x＜4，
∴③吧满足题意．
对于④，${f_{\;}}（x）={e^x}-lnx$，函数若满足题意，
必有4k=$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，即曲线上两点连线的斜率必须存在≥4的斜率．
f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，f′（△x）=${e}^{△x}-\frac{1}{△x}$∈R，
所以④满足题意，
故答案为：①④．

点评本题考查新定义的应用，赋值法以及直接法，函数的导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．

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	A．	复数的模总是正实数
	B．	复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应
	C．	如果与复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定会在第一象限
	D．	相等的向量对应着相等的复数

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