Question

16．正三角形ABC边长为2，M、N分别为边AB、AC的中点，点P为线段MN上的动点，则$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CP}$的取值范围是[$-\frac{1}{4}$，0]；若$\overrightarrow{BP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则（x+1）•y的最大值为$\frac{7}{16}$．

Answer 1

分析 ①建立坐标系如图：A（0，$\sqrt{3}$），M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），利用向量的数量积化为函数求解．
②根据向量的运算得出$\overrightarrow{OP}$=（x-y-1，$\frac{\sqrt{3}（x+y）}{2}$），再根据P点的坐标得出不等式组，利用函数求解即可．

解答 解：①建立坐标系如图：A（0，$\sqrt{3}$），M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）

$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CP}$（x+1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（x-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=x²$-\frac{1}{4}$，x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
根据二次函数求解得出：$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CP}$的范围$[{-\frac{1}{4}，0}]$．
②∵$\overrightarrow{BP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴$\overrightarrow{OP}$=（x-y-1，$\frac{\sqrt{3}（x+y）}{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}（x+y）}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{-\frac{1}{2}≤x-y-1≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{\frac{3}{4}≤x≤\frac{5}{4}}\end{array}\right.$
∴（x+1）•y=（1+x）（1-x）=1-x².$\frac{3}{4}$$≤x≤\frac{5}{4}$
最大值为1$-\frac{9}{16}$=$\frac{7}{16}$
答案为：$[{-\frac{1}{4}，0}]$；$\frac{7}{16}$

点评 本题综合考考查了向量，不等式，函数思想的运用，解决最大值，最小值问题的应用，属于中档题．