Question

13．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与幂函数y=$\sqrt{x}$的图象相交于P，且过双曲线C的左焦点F（-1，0）的直线与函数y=$\sqrt{x}$的图象相切于P，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 设P的坐标，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，求出P的坐标，利用双曲线的定义求出a，即可得到结论．

解答 解：设P（m，$\sqrt{m}$），
则函数y=f（x）=$\sqrt{x}$的导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
则在P处的切线斜率k=f′（m）=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
则切线方程为y-$\sqrt{m}$=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$（x-m），
∵切线过F（-1，0），
∴-$\sqrt{m}$=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$（-1-m），
即2m=1+m，则m=1，即P（1，1），
∵左焦点F（-1，0），∴右焦点F₁（1，0），
则c=1，且2a=|PF|-|PF₁|=$\sqrt{（-1-1）^{2}+1}$-1=$\sqrt{5}-1$，
则a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$$\frac{2（\sqrt{5}+1）}{5-1}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据函数导数的几何意义求出切线斜率和方程是解决本题的关键．