Question

8．函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x+1有两个极值点，则a的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，二阶导数，得到一阶导函数有极大值点，根据f′（x）的单调性，只要$f'（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}-1＞0$，解出即可．

解答 解：∵f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x+1，（x＞0），
∴f′（x）=lnx-ax，$f''（x）=\frac{1}{x}-a=0$，
得一阶导函数有极大值点x=$\frac{1}{a}$，
由于f′（0）→-∞，x→+∞时，f′（x）→-∞，
因此原函数要有两个极值点，
只要$f'（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}-1＞0$
解得$0＜a＜\frac{1}{e}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．