Question

已知函数，其中a为正实数，是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，x=是函数y=f（x）的一个极值点，由f′（）=0即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）=0，可求得极值点，通过对f（x）与f′（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间，再对b分＜b＜与b≥两类讨论即可求得函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．
解答：解：f′（x）=，
（Ⅰ）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，
所以f′（）=0，
因此，a-a+1=0，
解得a=，
经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=，
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=，
f（x）与f′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，）		（，）		（，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，），（，+∞）．单调递减区间是（，）．
当＜b＜时，f（x）在[b，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（）=，
当b≥时，f（x）在[b，+∞）上单调递增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（b）==．…（13分）
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出分类讨论思想与方程思想的考查，属于中档题．