题目内容

已知函数 $数学公式$ ，其中a为正实数，e=2.718…．
（I）若 $数学公式$ 是y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（II）求f（x）的单调区间．

解：f′（x）= $\text{[math]}$ ．
（I）因为x= $\text{[math]}$ 是函数y=f（x）的一个极值点，
所以f′（ $\text{[math]}$ ）=0，
因此 $\text{[math]}$ a-a+1=0，
解得a= $\text{[math]}$ ．
经检验，当a= $\text{[math]}$ 时，x= $\text{[math]}$ 是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为 $\text{[math]}$ ．…（4分）
（II）f′（x）= $\text{[math]}$ （a＞0），
令f′（x）=0得ax²-2ax+1=0…①
（i）当△=（-2a）²-4a＞0，即a＞1时，方程①两根为
x₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ．
此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（-∞， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，+∞）； f（x）的单调递减区间为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
（ii）当△=4a²-4a≤0时，即0＜a≤1时，ax²-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此时f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．…（13分）
分析：（I）依题意，由f′（ $\text{[math]}$ ）=0，即可求得a的值；
（II）求f′（x）= $\text{[math]}$ ，令f′（x）=0可求得方程ax²-2ax+1=0的根，将f′（x）与f（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（x）=0之后，将f′（x）与f（x）的变化情况列表是关键，属于中档题．