Question

已知函数，其中a为实数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；
若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；
单调增区间是（0，a），（1，+∞）．
③当a=1时，则，
故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
⑤当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；
函数f（x）的单调区间是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-，
当a＞0时，f（1）＜0，
此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=-，
此时，f（1）≥0，解得a≤-，
故实数a的取值范围是（-∞，-）．
（3）由（2）知，当a=-时，
f（x）=-≥0，当且仅当x=1时，等号成立，
这个不等式等价于lnx≤x²-x．
当x＞1时，变换为，
在上面的不等式中，
令x=m+1，m+2，…，m+n，则有
＞-，
即对任意的正整数m，n，不等式恒成立．
分析：（1）由，得，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由于f（1）=-，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为f（1）=-，由此能求出实数a的取值范围．
（3）由（2）知，当a=-时，f（x）=-≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x²-x．由此能够证明对任意的正整数m，n，不等式恒成立．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用．