Question

12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．
（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中点H，连结CH，GH，推导出四边形AHCD是平行四边形，从而CH∥DA，进而CH∥平面ADF，由GH是△ABF的中位线，得GH∥平面ADF，从而平面CHG∥平面ADF，由此能证明CG∥平面ADF．
（Ⅱ）以C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EF-D的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AB的中点H，连结CH，GH，
∵AB=2，AH=2CD，且DC∥AB，
∴AH∥DC，且AH=DC，
∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥DA，
∵CH?平面ADF，DA?平面ADF，
∴CH∥平面ADF，
∵点G是BF的中点，H是AB的中点，
∴GH是△ABF的中位线，∴GH∥AF，
∵GH?平面ADF，AF?平面ADF，
∴GH∥平面ADF，
又CH∩GH=H，∴平面CHG∥平面ADF，
∵CG?平面CHG，∴CG∥平面ADF．
（Ⅱ）∵AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CB=1，
∴四边形ABCD是等腰梯形，H是AB中点，∴四边形AHCD是菱形，CH=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC⊥AC，
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE，BC⊥FC，
∵四边形ACFE是矩形，FC⊥AC，
∴以C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），E（$\sqrt{3}$，0，1），F（0，0，1），
$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{EF}$=（-$\sqrt{3}$，0，0），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=-\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，-1），
平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．